Кадуйский потоп.
Субботнее чтение. Мир через призму математики: количество песчинок очень велико, но не бесконечно
СамолётЪ предлагает неожиданно оптимистичный фрагмент книги «Теорема зонтика», выходящей в издательстве «Эксмо» (перевод И. Сысоевой) и посвященный очень (ну, очень!) большим числам:
14 сентября 2007 года Джереми Харпер, 31-летний американец из штата Алабама, вошел в Книгу рекордов Гиннесса, став первым человеком, досчитавшим до миллиона. Его выступление, транслируемое онлайн через Интернет, началось 18 июня 2007 года. В течение восьмидесяти девяти дней Харпер, запершись в своем доме, неустанно нарезая круги по своей гостиной, нараспев зачитывал длинную литанию чисел.
Кажется маловероятным, чтобы кто‑то когда‑нибудь решился потратить время на то, чтобы досчитать до десяти миллионов. Для этого потребуется примерно в десять раз больше времени, то есть два с половиной года. Чтобы досчитать до ста миллионов, потребуется двадцать пять лет, а до миллиарда — два с половиной столетия. Конечно, все это при условии, что рекордсмену удастся поддерживать тот же темп речитатива, что и Харперу, который каждый день отводил на это около шестнадцати часов.
Эти круглые числа, запись которых начинается с 1, за которой следует последовательность из 0, увеличиваются в мультипликативной прогрессии, поэтому каждый новый рекорд побить в десять раз труднее, чем предыдущий. Мы называем их степенями десяти. Один миллион, 1 000 000, записывается как 10⁶ (десять в шестой степени), потому что у него шесть нулей; один миллиард, 1 000 000 000, имеет девять нулей и, следовательно, записывается как 10⁹ (десять в девятой степени) и так далее. Числа, которые мы получаем, следуя длинному списку степеней десяти, настолько огромны, что человеческому мозгу становится практически невозможно правильно их представить.
Когда Джереми Харпер побил рекорд, ему было около миллиарда секунд, то есть 31 год. Человеческое тело состоит примерно из ста триллионов клеток, или 10¹⁴ . Во всех океанах мира насчитывается тридцать квадриллионов капель воды, что составляет 3×10²⁵. Солнце состоит из нониллиарда атомов, или 10⁵⁷. А количество элементарных частиц, содержащихся во всей Вселенной, видимой с Земли, всех звезд и далеких галактик вместе взятых, оценивается в сто тредециллионов, то есть в 10⁸⁰!
Только 10⁸⁰? Это число может показаться не таким уж большим для тех, кто не привык к экспоненциальному росту степеней десяти. Это впечатление в основном вызвано существующим в нашем сознании несоответствием между аддитивной и мультипликативной шкалами. Несмотря на краткость записи этого числа, оно огромно.
Среди всех цивилизаций, обладавших обширными знаниями в области математики, выделяются индийцы, которые очень рано выработали особые отношения с огромными числами. Начиная с III века до нашей эры и в последующие тысячи лет поколения учёных продолжают безумную гонку за гигантизмом. Ими двигал не только научный интерес, но и поэтические и религиозные чувства. Они придумывали все бóльшие числа как игру, бросали вызов самим себе, чтобы испытать головокружение и попытаться причаститься необъятного.
Записанная в III веке «Лалитавистара. Сутра о жизни Будды» учит, что число, названное падума и равное 10²⁹, позволяет подсчитать песчинки, из которых состоят горы. Здесь также встречаются числа катха — для подсчета звезд на ночном небе, и асанкхейя — для учета всех капель дождя, которые выпадут за десять тысяч лет на все миры. Однажды, когда Будда оказывается лицом к лицу с арифметиком Арджуной, он подробно рассказывает ему о том, как работает монументальная мультипликативная шкала. Начиная с коти, обозначающего десять миллионов, он называет вереницу чисел, каждое из которых в сто раз больше предыдущего: сто коти называются аюта; сто аюта — ниюта; сто ниюта канкара и так далее. Числовой ряд занимает несколько десятков строк, пока не достигнет головокружительного значения 10⁴²¹, которое, согласно Будде, позволяет посчитать мельчайшую частичку мельчайших атомов, параману.
Удивительно, что в III веке индийские ученые уже задавались вопросом о количестве элементарных частиц во Вселенной, и еще более удивительно, что они не преуменьшили, а преувеличили предполагаемое число.
Оценка в 10⁸⁰, которую мы знаем сегодня, ничтожно мала по сравнению с количеством параману, которое предполагал Будда.
Индийцы не единственные развлекались большими числами. Несмотря на то что они, несомненно, лучше прочих освоили искусство жонглировать гигантскими значениями, в китайской и греческой культурах тоже можно встретить огромные степени. Тем не менее следует признать, что этот поиск больших чисел, когда он не связан с религиозным или философским поиском, второстепенен для математиков. Вы можете опьянеть от их величия и даже испугаться их необъятности, но, по сути, эти числа не имеют практической пользы. Начиная с эпохи Возрождения, европейские учёные, похоже, совсем перестали уделять этим гигантам внимание, и гонка возобновилась лишь в XX веке.
В 1940 году математики Эдвард Казнер и Джеймс Ньюман опубликовали книгу под названием «Математика и воображение» (The Mathematics and the Imagination), в которой они обсудили монументальные 10¹⁰⁰. Единица со 100 нулями.
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.
Хотя их по-прежнему меньше, чем у Будды, такое количество все равно уже невообразимо. Подумайте, сколько капель воды содержится в миллиарде олимпийских бассейнов. А теперь представьте, что каждая из этих капель — целая вселенная. Число 10¹⁰⁰ — это количество элементарных частиц, которые содержатся во всех этих вселенных вместе взятых! Казнер решает назвать это число «гугол». Это слово, придуманное его 9-летним племянником, вдохновило в 1997 году предпринимателей Сергея Брина и Ларри Пейджа так назвать недавно созданный веб-сайт для поиска информации в интернете, — Google.
В своей книге Казнер и Ньюман пошли дальше и придумали другое число, которое они назвали «гуголплекс», равное 10 гугол , то есть 1 с гугол нулей! Таким образом, в гуголплекс больше нулей, чем частиц во Вселенной. На этот раз им удалось превзойти Будду, это число совершенно неподвластно нашему представлению. Если бы существовала гигантская книга, страницы которой были размером с видимую ВселеннуюТо есть почти квадриллион (10²⁴) километров., но буквы которой были бы не больше тех, которые вы сейчас читаете, ее все равно бы не хватило, чтобы полностью записать туда гуголплекс. Поймите правильно: мы говорим не о значении этого числа, а просто о том, сколько места потребуется, чтобы его записать. Если для записи одного миллиарда (1 000 000 000) требуется всего 10 символов, для написания гуголплекса потребуется целая вселенная символов!
В разговоре часто путают бесконечное с очень большим. По правде говоря, когда в беседе проскальзывает слово «бесконечный», можно смело поспорить, что его используют неправильно, и следует заменить его более скромным прилагательным, таким как «гигантский» или «огромный». Сами индийские учёные не совсем это понимали. Их слово асанкхейя, буквально означающее «неисчислимый» или «бесконечный», тем не менее в их шкале степени десяти равняется... 10¹⁴⁰!
Гуголплекс Казнера и Ньюмана настолько велик, что очень заманчиво назвать его бесконечным. Если вы попытаетесь на мгновение сосредоточиться, чтобы подумать о чём‑то бесконечном, совершенно очевидно, что мысленный образ, который вы можете создать, будет очень сильно уступать гуголплексу. Наш мозг не готов к таким величинам, и именно поэтому мы должны с осторожностью относиться к своей интуиции и доверять логике и математике.
В III веке до нашей эры в Сицилии математик по имени Архимед уже утверждал необходимость отделять понятие бесконечности от понятия огромного. В тексте, озаглавленном «Псаммит», учёный объясняет, что вопреки тому, что считают многие его современники, на Земле не бесконечное количество песчинок. Греческий учёный подробно описывал построение шкалы степеней десяти, а затем показывал, что, если бы небесная сфера была полностью заполнена песком, в ней было бы не более 10⁶³ песчинок. Конечно, расчеты Архимеда неточны, потому что его знания о реальных размерах Вселенной были ограниченны.
Но точный результат и не важен, главное — вывод: количество песчинок очень велико, но оно не бесконечно.
Даже сегодня вокруг нас много такого, что соблазнительно было бы посчитать бесконечным, но это не так. Подумайте, например, о литературе. Легко поверить, что у писателей бесконечное поле для исследований, доступное их воображению. Подумайте обо всех историях, которые можно найти в книгах и из которых написана лишь малая часть! У автора нет границ, он может придумывать миры по своему усмотрению, его истории могут разворачиваться в прошлом, настоящем, будущем или во времени вне нашей реальности, они могут происходить в любой стране, на любой планете или же в полностью придуманном месте без каких‑либо ограничений. Возможности кажутся буквально бесконечными.
Тем не менее взгляните на это немного по-другому. Любая книга состоит из конечного числа символов, которые соответствуют алфавиту, имеющему конечное число букв. Если автор хочет написать книгу из 600 000 знаков, каждый из этих знаков может быть только одним из двадцати шести букв от А до Z или знаком препинания, поэтому для каждого из 600 000 знаков есть только около пятидесяти возможных вариантов. С помощью этих двух данных можно математически вычислить количество текстов в 600 000 символов, где возможно 50 вариантов, рассчитывается как 50⁶⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 10¹⁰¹⁹³⁸², то есть 1 с 1 019 382 нулями. возможное количество разных книг. И результат таков: 10¹⁰¹⁹³⁸². Конечно, количество комбинаций невероятно велико. Его размер невообразим, но он не бесконечен. Это утверждение верно даже с учетом того, что автор ограничил количество книг только буквами латинского алфавита. Но даже если добавить к этому множеству книги на кириллице, на китайском, корейском, японском, арабском, хинди и других языках, результат все равно будет конечен. — Прим. ред.. Представьте себе потрясающую библиотеку, в которой собраны все эти книги. Все возможные сочинения были бы в нашем распоряжении! Здесь есть все истории, которые уже были написаны, будут написаны когда‑нибудь и которые так и не напишутся. Здесь, например, все расследования Эркюля Пуаро Агаты Кристи, статья Фрэнка Бенфорда о законе аномальных чисел, книга, которая через десять лет будет удостоена Гонкуровской премии, и даже перевод утраченных произведений Архемеда. Среди этих полок можно также наткнуться на откорректированную версию «Теоремы зонтика», где будет исправлена орфографическая ошибка в имени Архимеда в предыдущем предложении...
Подготовила Марина Мельникова
СамолётЪ